Tailieumontoan.com


Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

GIẢI BÀI TẬP
TOÁN LỚP 9 TẬP 1
(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

Website: tailieumontoan.com
PHẦN ĐẠI SỐ
Chương I
CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
§1. Căn bậc hai
1. Định nghĩa
Căn bậc hai của một số thực a là số x sao cho x 2 = a .
Kết quả
- Một số thực dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, kí hiệu

a và − a .

- Số 0 có một căn bậc hai duy nhất, là 0.
- Một số âm không có căn bâc hai.
2. Căn bậc hai số học
Căn bậc hai số học của một số thực a không âm là số x không âm mà x 2 = a , kí hiệu x = a .
3. Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự
Định lí: Với a, b là các số dương, ta có:
a, Nếu a < b thì

a< b

b, Ngược lại, nếu

a < b thì a < b

Tóm tắt: a < b ⇔ a < b ; a, b > 0 .

BÀI TẬP
1. Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400.
Hướng dẫn
Ta có bảng:
x

121

144

169

225

256

324

361

400

x

11

12

13

15

16

18

19

20

±11

±12

±13

±15

±16

±18

±19

±20

± x
Trong đó
là

x là căn bậc hai số học của số x, ± x là các căn bậc hai của số x. Thường + x được viết gọn

x.

2. So sánh:
a) 2 và

3;

b) 6 và

41

c) 7 và

47

Hướng dẫn
a) 2 = 4 ; 4 > 3 ⇒ 4 > 3 ⇒ 2 > 3 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com
b) 6 = 36 ; 36 < 41 ⇒ 36 < 41 ⇒ 6 < 41 .
c) 7 = 49 ; 49 > 47 ⇒ 49 > 47 ⇒ 7 > 47 .
3. Dùng máy tính bỏ túi để tính nghiệm của các phương trình dưới đây (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ
ba).
b) x 2 = 3

a) x 2 = 2

c) x 2 = 3,5 ;

d) x 2 = 4,12

Hướng dẫn
a) x 2 =
2
⇒

x=
± 2

Chẳng hạn dùng máy tính bỏ túi CASIO fx 220, ta nhấn các nút: AC

2

. Kết quả trên máy tính là

1.414213562. Làm tròn đến số thập phân thứ ba ta được các nghiệm là: x ≈ ± 1, 414 .
b)=
x2 3
c) x 2 3,5
=

⇒

x= ± 3

⇒

d) x 2 4,12
=

⇒

⇒

x= ± 3,5

x ≈ ±1,732.
⇒

x= ± 4,12

x ≈ ±1,871.
⇒

x ≈ ±2, 030.

4. Tìm x không âm, biết:
a)

x = 15

b) 2 x = 14

x< 2

c)

d)

2x < 4

Giải
a) =
x 15

⇒
=
x 152

⇒
=
x 225.

b) 2 x =14

2
⇒ (2 x )=
142 ⇒ 4=
x 196

⇒=
x 49;

c)

x< 2

⇒ ( x ) 2 < ( 2) 2 ⇒ x < 4

⇒ 0 ≤ x < 4;

d)

2 x <4

⇒ ( 2 x ) 2 < 42

⇒ 2 x < 16

⇒ 0 ≤ x < 8;

5. Đố: Tính cạnh một hình vuông biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m
còn chiều dài 14m (hình dưới).
Hướng dẫn
Gọi cạnh hình vuông là x, ta có:
=
= 49
x 2 3,5.14
Vì độ dài cạnh hình vuông là một số không âm nên
x 2 = 49 ⇒ x =

49 = 7 ( m )
BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Cho các số 64; 100; 103; 271.
a) Tìm căn bậc hai của các số trên.
b) Tìm căn số số học của các số trên.
2. Trong các số sau đây, số nào có căn bậc hai, số nào không có căn bậc hai:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

2

Website: tailieumontoan.com
36; 37; -64;
m; −n với m, n là các số thực.
3. So sánh các số:

9 + 16 và

9 + 16

Từ kết quả trên, liệu ta có thể viết:
4 + 9 = 4+9 ?
25 + 36 = 25 + 36 ?

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

3

Website: tailieumontoan.com
§2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

A2 = A

1. Định nghĩa
Nếu A là một biểu thức thì

A là biểu thức dạng căn bậc hai hay nói gọn hơn là căn bậc hai của A; A được

gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
Điều kiện để

A có nghĩa là A ≥ 0 . Rõ ràng với A ≥ 0 thì

( A)
2. Hằng đẳng thức

2

=A

A2 = A

Định lí: Với mọi số thực a, ta có

a2 = a

Chú ý: Kết hợp với định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có:
2
A=

 A nÕu A ≥ 0;
A
= 
− A nÕu A < 0.
BÀI TẬP

6. Với giá trị nào của a thì các căn thức sau có nghĩa?
a)

a
;
3

b)

−5a ;

c)

4−a;

d)

3a + 7 .
Hướng dẫn

a)

a
a
có nghĩa khi ≥ 0
3
3

b)

−5a có nghĩa

c)

4 − a có nghĩa

d)

3a + 7 có nghĩa ⇒

⇒

a ≥ 0.

⇒

− 5a ≥ 0

⇒

⇒

4−a ≥ 0

⇒

a≤ 4.

3a + 7 ≥ 0

⇒

7
a≥− .
3

a ≤ 0.

7. Tính :
a)

(0,1)2 ;

b)

(−0,3)2 ;

c) − (−1,3)2 ;
d) −0, 4 (−0, 4)2 .
Hướng dẫn
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

1

Website: tailieumontoan.com

a)

2
(0,1)
=
0,1
= 0,1

b)

(−0,3)2 =
−0,3 =
0,3 ;

c) − (−1,3)2 = − −1,3 = −1,3 ;
d) −0, 4 (−0, 4)2 =
−0, 4.0, 4 =
−0,16 .
8. Rút gọn các biểu thức sau đây:
a)

(

b)

(3 −

2− 3

)

11

2

;

)

2

;

c) 2 a 2 với a ≥ 0 ;
d) 3

(a − 2)

2

với a < 2
Hướng dẫn

a) Vì 2 > 3 nên 2 − 3 > 0 vậy
b) Vì 3 < 11 nên

(3 −

11

)

2

(2 − 3 )

2

2
3
=2 − 3 =−

=−
3 11 =11 − 3

c) 2 a 2 với a ≥ 0 thì 2 a 2 = 2 a
d) Với a < 2 ⇒ a − 2 < 0

3

(a − 2)

2

= 3 a − 2 = 3.  − ( a − 2 )  = 3 ( 2 − a )

9. Tìm x, biết:
a)

x2 = 7 ;

b)

x 2 = −8 ;

c)

4x2 = 6 ;

d)

9 x 2 = −12
Hướng dẫn

a)

x2 =
7⇒ x =
±7

b)

x 2 =−8 ⇒ x 2 =8 ⇒ x =±8

c)

4x2 =
6 ⇒ 4x2 =
36 ⇒ x 2 =
9⇒ x=
±3

d)

9x2 =
−12 ⇒ 9 x 2 =
144
( −12 ) ⇒ 9 x 2 =
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

2

Website: tailieumontoan.com
⇒ x2 =
16 ⇒ x =
±4
10. Chứng minh:
a)

(

b)

)

3 −1

2

=4 − 2 3

4−2 3 − 3 =
−1

Giải
a) Xuất phát từ vế phải, ta có:
4 − 2 3 = 3 − 2 3 +1 =

( 3)

2

− 2.1. 3 + 12 =

(

)

3 −1

2

b) Theo câu a), ta có:
4−2 3 =

(

)

3 −1

(

⇒ 4−2 3 =
Vậy

2

)

3 −1

2

= 3 − 1 (vì

3 > 1, 3 − 1 > 0 ).

4 − 2 3 − 3 =3 − 1 − 3 =
−1

BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Với giá trị nào của m thì căn thức sau đây có nghĩa:
a)

3m 2 + 1

b)

1
m −1

c)

m 2 − 2m + 1

2. Rút gọn các biểu thức với a là một số thực bất kì
a) 2a +

b)

(1 − a )

( 3 − 2a )

2

2

3 − 2a
LUYỆN TẬP

11. Tính
a) 16. 25 + 196 : 49 ;
b) 36 : 2.32.18 − 169;
c)
d)

81 ;

32 + 42 .
Hướng dẫn

a) 16. 25 + 196 : 49 = 4.5 + 14 : 7 = 20 + 2 = 22
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

3

Website: tailieumontoan.com
b) 36 : 2.32.18 − 169 =
36 :18 − 13 =
−11
81
=

c)
d)

=
9 3

32 + 42 =

9 + 16 =

25 = 5

12. Tìm x để căn thức sau có nghĩa:
a)

2x + 7 ;

b)

−3 x + 4 ;

c)

1
;
−1 + x

d) 1 + x 2 .
Hướng dẫn
2 x + 7 có nghĩa khi 2 x + 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ −

a)

b) Đáp số: x ≤

7
2

4
3

c) x > 1
d) 1 + x 2 có nghĩa với mọi x.
13. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2 a 2 − 5a với a < 0 ;
b)

25a 2 + 3a với a ≥ 0 ;

c)

9a 4 + 3a 2 với a bất kì;

d) 5 4a 6 − 3a 3 với a < 0 .
Hướng dẫn
a) Với a < 0 thì

a 2 = −a

−2a − 5a =
−7 a
2 a 2 − 5a =
b) Với a ≥ 0 ⇒ 25a 2 =
5a

25a 2 + 3a = 5a + 3a = 8a
c) Ta có:

9a 4 = 3a 2

9a 4 + 3a 2 = 3a 2 + 3a 2 = 6a 2
d) Với a bất kì thì=
4a 6

=
( 2a 3 ) 2a 3
2

Với a < 0 thì:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

4

Website: tailieumontoan.com
5. ( 2a 3 ) − 3a 3 =
−13a 3
2a 3 = −2a 3 và 5 4a 6 − 3a 3 =−
14. Phân tích thành nhân tử:
a) x 2 − 3;
b) x 2 − 6;
c) x 2 + 2 3 x + 3;
d) x 2 − 2 5 x + 5.
Hướng dẫn: Dùng kết quả: Với a ≥ 0 thì a =

( a)

2

Hướng dẫn

( 3 ) = ( x − 3 )( x + 3 )
( x − 6 )( x + 6 )
2

a) x 2 − 3 = x 2 −
b) x 2 − 6 =

c) x 2 + 2 3 x + 3 =
(x
3) 2 .
x 2 + 2 3 x + ( 3) 2 =+
d) x 2 − 2 5 x + 5 =
x 2 − 2 5 x + ( 5) 2 =−
(x
5) 2 .
15. Giải các phương trình sau :
a) x 2 − 5 =
0;

b) x 2 − 2 11x + 11 =
0;
Hướng dẫn

a) x 2 − 5 =0

⇔

x 2 =5

b) x 2 − 2 11x + 11 =0

⇔

x =± 5.

⇔

x 2 − 2 11x + ( 11) 2 =0

⇔

( x − 11) 2 =
0

⇔

x − 11 = 0

⇔

x=

11.

16. Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “ Con muỗi nặng bằng con voi”.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:
m2 + V2 = V2 + m2 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

5

Website: tailieumontoan.com
Cộng cả hai vế với -2mV, có :
m 2 − 2mV + V 2 =
V 2 − 2mV + m 2

hay (m - V) 2 = (V - m) 2
Lấy căn bậc hai của hai vế, ta được:
m-V=V-m.

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi.
Hướng dẫn
Lập luận này sai từ chỗ (m - V) 2 = (V - m) 2
Suy ra m - V = V - m .
Lẽ ra ta phải suy như sau :

(m - V) 2 = (V - m) 2

⇒

V - m =

m-V

BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Tính a từ đẳng thức : 2a(a - 1) = 9 - a.
2. Tính x, biết :

(3x - 1) 2 = 16.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

6

§3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
1. Định lí
Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì

a .b = a . b

Chú ý: Định lí được mở rộng cho trường hợp tích của nhiều thừa số.
2. Khai phương một tích
Quy tắc : Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân
các kết quả lại với nhau.
2. Nhân các căn thức bậc hai
Quy tắc : Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với
nhau rồi lấy căn bậc hai kết quả tìm được.
a . b = a . b ; a ≥ 0, b ≥ 0
Chú ý: Định lí và các quy tắc cũng được áp dụng cho trường hợp A, B là các biểu thức không âm
A.

B
=
. C

A . B . C ; A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ 0.

BÀI TẬP
17. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
a)

0, 09.64;

b)

24.(−7) 2 ;

c) 12,1.360;
d)

22.34 .
Giải

a)

0, 09.64
=

b)

24.(−7) 2 =

0, 09 .=
64 0,3
=
. 8 2, 4 ;

24 . (−7) 2 = 22 . −7 = 28 ;

c) 12,1 . 360
=
d)

4
22. 3=

121 . =
36. 11.6
= 66 ;

22 . (32=
) 2 2.9
= 18 .

18. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
a)

7 . 63 ;

b)

2,5 . 30 . 48 ;

c)

0,4 . 6, 4 ;

d)

2,7 . 5 . 1,5 .

Hướng dẫn

a) 7 . 63
=

7 . 63
=

b) 2,5=
. 30 . 48

=
c) 0,4 . =
6, 4

7 2.=
9 7.3
= 21 ;
=
2,5 . 30 . 48

5 . 5 . 3 . 3=
. 24 5.3.4
= 60 ;

0,4=
. 6, 4

d)
=
2,7 . 5 . 1,5

2,5 . 2 . 15 . 24 . 3

0, 4 . 0, =
4 . 16 0,=
4 . 4 1, 6 ;

=
9 . 0,3 . 5 . 5 . 0,3

3 . 0,3 . 5 = 4,5 .

19. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

0,36a 2 với a < 0;

b)

a 4 (3 − a ) 2 với a ≥ 3;

c)

27. 48 (1 − a ) 2 với a > 1;

d)

1
. a 4 (a − b) 2 với a > b.
a −b

Hướng dẫn
a)

0,36a 2 =
0, 6 a vì a < 0 nên a =
−a
0,36a 2 =
−0, 6a. ( a < 0 )

Vậy
b)

a 4 (3 − a ) 2 = a 2 3 − a vì a ≥ 3 ⇒
a 4 (3 − a ) 2 = a 2 (a − 3 ); a ≥ 3.

Vậy
c)

3 − a = a − 3.

2
27. 48 (1 − a )=

2
33. 3 . 42 (1 − a )=
32. 4 1 − a

vì a > 1 nên 1 − a = a − 1
27. 48 (1 − a ) 2=

d)

36(a − 1).

1
1
. a 4 (a −
=
.a 2 a − b
b) 2
a −b
a −b

vì a > b
nên

⇒

a − b = a − b và a − b ≠ 0

1
1
. a 4 (a=
− b) 2
.a 2 (a=
− b)
a −b
a −b

20. Rút gọn các biểu thức sau:

2a
.
3

3a
với a ≥ 0 ;
8

b) 13a .

52
với a > 0 ;
a

a)

c)

5a . 45a − 3a với a ≥ 0 ;

a2

d) (3 − a ) 2 − 0, 2 . 180a 2 .
Hướng dẫn
a)

2a
3a
. =
3
8

2a . 3a
=
3.8

Vì a ≥ 0

a2
=
4

a a
=
. nên
2 2

⇒

a
2

2a
.
3

3a a
= .
8
2

b) Đáp số : 26.
c)

5a . 45a − 3a =

Với a ≥ 0

52.32. a 2 − 3a = 15 a − 3a.

⇒ 15 a − 3a = 15a − 3a = 12a

d) (3 − a ) 2 − 0, 2 . 180a 2 = (3 − a ) 2 − 36a 2 = (3 − a ) 2 − 6 a
* Với a ≥ 0

⇒

6a =
6a

(3 − a )
* Với a < 0

2

− 6 a =9 − 6a + a 2 − 6a =a 2 − 12a + 9

⇒ 6a =
− 6a
(3 − a ) 2 − 6 a = 9 − 6a + a 2 + 6a = a 2 + 9

21. Khai phương tích 12 x 30 x 40 được :
A) 1200;
B) 120;
C) 12;
D) 240.
Hãy chọn kết quả đúng.
Đáp số
B) 120.
LUYỆN TẬP
22. Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính :
a) 132 − 122 ;
b) 17 2 − 82 ;
c) 117 2 − 1082 ;
d)

3132 − 3122 .
Hướng dẫn

a) 132 − 122 =
b) Đáp số : 15

(13 − 12)(13 + 12) =

1.25 = 5.

c) Đáp số : 45
d) Đáp số : 25.
23. Chứng minh :
a) (2 − 3)(2 + 3) =
1;
b) ( 2006 − 2005) và ( 2006 + 2005) là hai số nghịch đảo nhau.
Hướng dẫn
a) (2 − 3)(2 + 3) = 22 − ( 3) 2 = 4 − 3 = 1.
b) Xét tích ( 2006 − 2005)( 2006 + 2005)
= ( 2006) 2 − ( 2005) 2 = 2006 − 2005 = 1.

⇒

1
2006 − 2005 =
.
2006 + 2005

24. Rút gọn rồi tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau :
a) 4(1 + 6 x + 9 x 2 ) 2 tại x = − 2 ;
9a 2 (b 2 + 4 − 4b) tại a =
−2, b =
− 3.

b)

Hướng dẫn
2

4(1 + 6 x + 9 x 2 ) 2 = 4 (1 + 3 x) 2  = 2(1 + 3 x) 2

a)

Với x =
− 2
Lấy

⇒

2 ≈ 1,4142, ta tính ra kết quả : ≈ 21,029.

9a 2 (b 2 + 4 −=
4b)

b)

Vì

2(1 + 3 x) 2 =−
2(1 3 2) 2

9a 2 (b −=
2) 2 3 a b − 2

a =
−2 < 0 nên a =
−a
b =− 3 ⇒ b − 2 =− 3 − 2 < 0 nªn b − 2 =2 − b

và

3 a b−2 =
−3a (2 − b) =6(2 +

3)

Lấy 3 ≈ 1,7320, ta có kết quả : ≈ 22,392.
25. Tìm x, biết :
a) 16 x = 8
b)

4x = 5

c)

9( x − 1) =
21

d)

4(1 − x) 2 − 6 =
0

Hướng dẫn

a) 16 x =8

⇒

x =2

Thử lại : x =
4
⇒

⇒

x =4

16.4 =
4.2 =
8

Vậy x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho.
b)

4x =

5

⇒

4x = 5

5
Thử lại : x =
4
Vậy x =

c)

⇒

⇒

4.

5
4

x =

5
= 5.
4

5
là nghiệm của phương trình đã cho.
4

9( x −=
1) 21

⇒

x=
−1 7

⇒

x −=
1

⇒

Thử lại : Với x =
50

⇒

49

x =
50

9.49 ==
3.7
21.

Vậy x = 50 là nghiệm của phương trình đã cho.
d)

4(1 − x) 2 − 6= 0

⇒

4(1 − x) 2= 6

1− x

=
3

* Với x > 1 ⇒ 1 − x < 0 nên 1 − x =x − 1
Phương trình trở thành x − 1 = 3 ⇒ x = 4
Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện x > 1 .

1 x
* Với x ≤ 1 ⇒ 1 − x ≥ 0 nên 1 − x =−
Phương trình trở thành 1 − x =3 ⇒ x =−2
Giá trị x = −2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 1 .
Thử lại :
- Với x = −2 ⇒

4(1 + 2) 2 − 6=

2.3 − 6 =

0

Vậy x = −2 là nghiệm của phương trình đã cho
- Với x = 4 ⇒

4(1 − 4) 2 − 6=

2.3 − 6 =

0

Vậy x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho
Đáp số : S = {−2; 4} .
26. a) So sánh :

25 + 9 và

25 + 9 .

b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh

a + b< a + b

Hướng dẫn

a) Đặt A = 25 + 9 =34 ;

B = 25 + 9 =
8.

Ta có=
: A 2 34,
=
B2 64
A 2 < B2 , A, B > 0 nên A < B
25 + 9 < 25 + 9
Chú ý : Có thể so sánh như sau :
⇒

A = 34

A < 36

⇒

A<6

(1)

B=8

⇒

B>6

(2)

⇒

25 + 9 < 25 + 9

Từ (1) và (2) suy ra A < B
b) Tương tự, đặt A =a + b
B =

⇒

A 2 < B2

a + b ⇒

2 a .b >0,

Vì a > 0, b > 0 ⇒
⇒

⇒

A2 =
a + b
B2 = a + b + 2 a . b

do vậy

a+b< a + b + 2 a .b

A
a + b< a + b

b) − 5 và − 2.

27. So sánh : a) 4 và 2 3

Giải
a) Ta có : 42 16;
=
=
(2 3) 2 12.
Như vậy : 42 > (2 3) 2
b) Ta so sánh
Vì 2

⇒

4 > 2 3

5 và 2 :

4 mà

4<5

Từ 2 < 5 suy ra

⇒

4 < 5⇒2 < 5

−2 > − 5
BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Tìm các giá trị của biến x để các biểu thức sau có nghĩa :
−5 x ;

−3 x 2 ;

1 + x2 .

2. Rút gọn các biểu thức :

a + b a
;
b a

x − ax
;
a x

x +

xy

x+ y

.

§4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
1. Định lí
Nếu a ≥ 0 và b > 0 thì

a
=
b

a
b

.

2. Khai phương một thương
Quy tắc: Muốn khai phương một thương

a
trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai
b

phương số a và khai phương số b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
3. Chia hai căn thức bậc hai
Quy tắc : Muốn chia căn thức bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số
a cho số b rồi lấy căn bậc hai của thương đó.
a
b

a
, a ≥ 0, b≥ 0
b

=

Chú ý : Định lí và các quy tắc trên cũng được áp dụng cho trường hợp A là biểu thức không âm và B là biểu
thức dương.
BÀI TẬP
28. Tính :
a)

289
;
225

b)

2

c)

0, 25
;
9

d)

8,1
.
1, 6

14
;
25

Hướng dẫn
289
a) =
225

289 17
;
=
225 15

14
b) 2=
25

64
=
25

0, 25
c) =
9

25
=
900

8,1
d) =
1, 6

29. Tính :

81
=
16

64 8
;
=
25 5
25
5 1
;
==
900 30 6

81 9
.
=
16 4

a)

b)

c)

d)

2
18

;

15
735

;

12500
;
500
65
23. 35

.
Hướng dẫn

a)

2
=
18

2
=
18

1 1
;
=
9 3

b)

15
=
735

c)

12500
=
500

12500
=
500

=
25 5 ;

d)

65
=
23. 35

25. 35
=
23. 35

=
22 2 .

15
=
735

1
1
;
=
49 7

30. Rút gọn các biểu thức sau đây :
y
a)
.
x

x2
với x > 0, y ≠ 0 ;
y4

b) 2y 2 .

x4
với y < 0 ;
4y 2

c) 5xy .

25x 2
với x < 0, y > 0;
y6

d) 0,2x 3 y3 .

16
với x ≠ 0, y ≠ 0 .
x 4 y8
Hướng dẫn

a)

y
.
x

x2 y x
=
.
y4 x y2

vì x > 0 ⇒

x =x

nên

Do y ≠ 0 và x ≠ 0 nên có thể rút gọn với y và x :

b) 2y 2 .

x4
x2
2
=
2y
.
4y 2
2y

y x y x
.
=
.
x y2 x y2
y x 1
=
.
x y2 y

y = − y , ta có : 2y 2 .

vì y < 0 nên

5x
25x 2
= 5xy .
6
y3
y

c) 5xy .

x2
2y

x2
=
−2y 2 .
= − 2x 2 y .
2y

( vì y > 0 )

5x
5x
25x 2
Vì x < 0 nên x = − x , ta có : 5xy. 3 =
−5xy. 3 =
− 2 .
y
y
y
16
4
0,8x
3 3
d) 0, 2x
( vì x ≠ 0, y ≠ 0 ).
y . 4 8 0,=
2x 3y 3. 2 4
=
x y
x y
y

25 − 16 và

31. a) So sánh

25 − 16

b) Chứng minh rằng với a > b > 0 thì

a − b < a − b.
Hướng dẫn

a) Ta có :

25 − 16 =

9 = 3;

25 − 16 = 5 − 4 = 1

25 − 16 < 25 − 16 .

Vậy

b) Để chứng minh

a − b < a − b.
a < a − b + b (1)

Ta chứng minh

Vì hai vế của (1) là các số không âm, nên ta tính

( a)
(

2

= a (2)

) (
2

a−b + b =

= a−b+b+2

a−b

)

2

+2

(a − b) b + (

b

)

2

(a − b) b

=
a + 2 2 ( a − b ) .b (3)

So sánh (2) và (3) ta có :

( a) < (
2

a−b + b

)

2

⇒ a < a − b + b hay

a − b < a − b. với a > b > 0.

LUYỆN TẬP
32. Tính
a) 1

c)

9 4
.5 .0,01;
16 9

1652 − 1242
;
164

b) 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, 4;

d)

1492 − 762
.
4572 − 3842
Hướng dẫn

a) 1

9 4
.5 =
.0,01
16 9

25 49 1
5.7.1
7
. =
.
;
=
16 9 100 4.3.10 24

b) 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, 4 = 1, 44 (1, 21 − 0, 4 ) = 1, 44.0,81 =

(165 − 124 )(165 + 124 )
=
164

1652 − 1242
c)
=
164

=

d)

289.41
=
4.41

289
=
4

1492 − 762
=
4572 − 3842

144 81 12.9
=
= 1,08
.
100 100 100

289.41
164

289 17
=
;
2
4
73.225
=
73.841

225 15
.
=
841 29

33. Giải phương trình :
a)

2.x − 50 =
0;

b)

3.x + 3 =

c)

3.x 2 − 12 =
0;

d)

12 + 27;

x2
− 20 =
0.
5
Hướng dẫn

a)

2.x − 50 = 0 ⇔ 2.x = 50 ⇔ x = 50 : 2 = 25 = 5;

b)

2.x − 8= 0 ⇒ 2.x=

8 ⇒ x=

8
⇒ x=
2

8
⇒ x=
2

4 ⇒ x= 2;

c) Đáp số : x = ± 2;
d)

x2
− 20 =
0 ⇒ x 2 =20. 5 ⇒ x 2 =100 ⇒ x 2 =
10 ⇒ x =
± 10
5

34. Rút gọn các biểu thức sau đây :
a) ab2 .

3
với a < 0, b ≠ 0;
a b
2 4

b)

27 ( a − 3)
với a > 3 ;
48

c)

9 + 12a + 4a 2
với b < 0 và a ≥ −1,5 ;
b2

2

d) ( a − b ) .

ab

(a − b)

2

với a < b < 0.
Hướng dẫn

a) ab2 .

3
3
.
= ab2 .
a b
a b2
2 4

Vì a < 0 ⇒ a =
−a và b ≠ 0 nên :

ab2 .

3
3
= ab2
= − 3
2
ab
−ab2

27 ( a − 3)
=
48

3.9 ( a − 3)
=
48

2

b)

2

3a −3
9 ( a − 3)
=
16
4
2

Vì a > 3 ⇒ a − 3 > 0 ⇒ a − 3 = a − 3
Nên

c)

3a −3 3
=
( a − 3) .
4
4

( 2a + 3)
=
2

9 + 12a + 4a 2
=
b2

b

2

2a + 3
b

− b;
b<0 ⇒ b =
a ≥ −1,5 ⇒ 2a + 3 ≥ 0 ⇒ 2a + 3 = 2a + 3
2a + 3 2a + 3
2a + 3
=
= −
.
−b
b
b

ab

d) ( a − b ) .

(a − b)

2

a−b
ab
=
a−b

− (a − b)
Vì a < b ⇒ a − b =

a−b
a−b

ab =

a−b
ab = − ab
− (a − b)

Chú ý : Vì a < b mà b < 0 ⇒ a < 0
a < 0, b < 0 ⇒ ab > 0
ab có nghĩa.

nên

35. Tìm x biết :
a)

( x − 3)

b)

4x 2 + 4x + 1 =
6.

2

=
9;

Giải
a)

( x − 3)

2

=9 ⇒ x −3 =9

- Với x ≥ 3 ⇒ x − 3 ≥ 0 nên x − 3 = x − 3 , phương trình trở thành x − 3 = 9 ⇒ x = 12 (thỏa mãn điều kiện x
> 3).

- Với x < 3 thì x – 3 < 0 nên x − 3 = 3 − x , phương trình trở thành 3 − x =9 ⇒ x =−6 (thỏa mãn điều kiện x
< 3)
Tập nghiệm của phương trình là : S =
4x 2 + 4x + 1 = 6 ⇒

b)

- Với x ≥ −

( 2x + 1)

2

{−6;12}

= 6 ⇒ 2x + 1 = 6

1
⇒ 2x + 1 ≥ 0 nên 2x + 1 = 2x + 1 .
2

Phương trình trở thành : 2x + 1 = 6 ⇒ x =
- Với x < −

1
5
(thỏa mãn điều kiện x ≥ − )
2
2

1
⇒ 2x + 1 < 0 nên 2x + 1 =−2x − 1 .
2

Phương trình trở thành : −2x − 1 =6 ⇒ x =−

7
1
(thỏa mãn điều kiện x < − )
2
2

 7 5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S= − ; 
 2 2
36. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ?
a) 0,01 = 0,0001;
b) −0,5 = −0, 25
39 < 7 và

c)

(

39 > 6

)

(

)

d) 4 − 13 .2x < 3 4 − 13 ⇔ 2x < 3
Hướng dẫn
a) Đúng vì ( 0,01) = 0,0001
2

b) Sai vì −0, 25 < 0 ⇒ −0, 25 vô nghĩa
c) Vì 72 = 49 và 62 = 36
36 < 39 < 49 ⇒ 6 < 39 < 7 . Vậy c đúng
d) Vì 16 > 13 ⇒ 4 > 13 ⇒ 4 − 13 > 0 . Vậy d đúng.
37. Đố : Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh 1cm, cho 4 điểm M, N, P, Q (hình bên).
Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích tứ giác MNPQ.

Hướng dẫn

Sử dụng định lý Pitago, ta tính ra :

-

MN 2 =22 + 12 =5 ⇒ MN = 5 cm
Tương tự, ta có MQ
= QP
= PN
= MN
=

5 cm

Đường chéo MP 2 = 32 + 12 = 10 ⇒ MP = 10 cm
Tương tự, ta tính ra NQ = 10 cm
Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. Hình thoi này lại có hai đường chéo bằng
nhau nên nó là hình vuông. Từ đó ta có :
2
=
S=
MN
ABCD

5)
(=
2

5cm 2
BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Tính
15 − 5 2 3 − 3 2 + 2
;
;
1− 3
3
1+ 2
2. Tìm giá trị x thỏa mãn các đẳng thức :
a)

x=
−m ( m ∈  )

b) 2 x − 1 =
0
2. Rút gọn :
a)

b)

c)

9a 4 b2c 2
4a 2 bc 2
ab2c

(m + n)

2

(a + b 3 ) c d
4 ( a + b 3 ) .c d

( −3)

5

2

2

d)

0,01
a (1 + a )
2

4

4 3

§5..BẢNG CĂN BẬC HAI
Dùng bảng số để tìm căn bậc hai của mỗi số sau đây rồi dùng máy tính bỏ túi kiểm tra và so sánh kết quả (từ
bài 38 đến bài 40)
38. 5,4; 7,2; 9,5; 31; 68.
Đáp số
5, 4 ≈ 2,324;
9,5 ≈ 3,082
7, 2 ≈ 2, 683

31 ≈ 5,568
68 ≈ 8, 246
Học sinh kiểm tra lại bằng máy tính bỏ túi.
39. 115; 232; 571; 9691.
Ta có : 115 = 1,15.100 =10 1,15 ≈ 1,072.10 =10,72
Tương tự, ta có :
232 ≈ 1,523.10 =
15, 23
571 ≈ 7,556.10 =
75,56
9691 ≈ 9,845.10 =
98, 45.
40. 0,71; 0,03; 0,216; 0,811; 0,0012; 0,000315.
Đáp số
71
71 8, 426
Ta có : 0, 71 = ⇒ 0, 71 = ≈
=
0,8426;
100
10
10

Tương tự :

0,03 ≈ 0,1732

0, 216 ≈ 0, 4648

0,0012 ≈ 0,0346

41. Biết
911,9 ;

0,000315 ≈ 0,0175

9,119 ≈ 3,019. Hãy tính :

91190 ;

0,09119 ;

0,0009119

Giải
Ta có :
=
91190

911,9=

9,119.100 ≈ 3,019.10 ≈ 30,19 ;

9,119.10000 ≈ 301,9

Tương tự ta có :

0,09119
=

0,0009119 ≈ 0,03019

9,119 3,019
= = 0,3019
100
10

0,811 ≈ 0,9006

42. Dùng bảng căn bậc hai để tìm nghiệm mỗi phương trình sau :
a) x 2 = 3,5
b) x 2 = 132
Hướng dẫn
a) Đáp số : x ≈ ±1,871
b) Đáp số : x ≈ ±11, 489

§6. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

=
A2 B

A B

( B ≥ 0)

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
A B = A2 B với A ≥ 0, B ≥ 0
A B = − A2 B với A < 0, B ≥ 0

BÀI TẬP
43. Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
a)

54

b) 108
c) 0,1 20000
d) −0,05 28800
e)

7.63.a 2
Hướng dẫn

a) =
54

=
9.6 3 6

b) =
108

=
36.3 6 3

c) 0,1
=
20000 0,1=
10000.2 0,1.100.
=
2 10 2
−0,05 14400.2 =
−0,05.120 2 =
−6 2
d) −0,05 28800 =
e)

2
7.63.a
=

2
7.7.9.a
=
7.3.
=
a 21 a

44. Đưa thừa số vào trong dấu căn :
3 5; −5 2; −

2
2
với x > 0.
xy với xy ≥ 0; x
x
3
Hướng dẫn

=
3 5

=
32.5

45

−5 2 =
− 52.2 =
− 50
−

2
4xy
xy =
−
3
9

2
=
x
x

2
=
x2.
x

45. So sánh :
a) 3 3 và 12

2x , x > 0

b) 7 và 3 5
c)

1
1
150
51 và
5
3

d)

1
1
6 và 6
2
2
Hướng dẫn

a) Ta có : 3 3 = 27 . Vì 27 > 12 ⇒ 27 > 12
Vậy 3 3 > 12
Chú ý : Có thể làm như sau :
=
12

=
4.3 2 3 . Vì 2 3 < 3 3 ⇒ 12 < 3 3

b) 3 5 =

45;7 =

49 ⇒ 3 5 < 7

1
1
1
c) Ta có : =
150
25.6 =
.5 6
=
5
5
5

1
51
=
3

51
=
9

6

17
3

Vì

17
1
1
51 <
150
<6⇒
3
3
5

d)

1
3
1
1
1
6 = ;6
= 18 ⇒
6<6
2
2
2
2
2

46. Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0 :
a) 2 3x − 4 3x + 27 − 3 3x
b) 3 2x − 5 8x + 7 18x + 28
Hướng dẫn
a) 2 3x − 4 3x + 27 − 3 3x
⇔ 2 3x − 4 3x − 3 3x + 27 = 27 − 5 3x
b) 3 2x − 5 8x + 7 18x + 28 ⇔ 3 2x − 10 2x + 21 2x + 28
⇔ 14 2x +=
28 14

(

)

2x + 2 hoặc 14 2

(

x+ 2

)

47. Rút gọn :
3( x + y)
với x ≥ 0, y ≥ 0 và x ≠ y
2
2

a)

2
2
x − y2

b)

2
5a 2 (1 − 4a + 4a 2 ) với a > 0,5.
2a − 1

Hướng dẫn

2
a) 2
x − y2
=

b)

3( x + y)
x+y
4.3
(vì x ≥ 0, y ≥ 0 và x ≠ y nên x + y > 0)
=
2
( x − y )( x + y ) 2
2

6
x−y

2 a 2a − 1
2
2
2
2
5a 2 (1 −=
4a + 4a 2 )
5a=
. 5
( 2a − 1)
2a − 1
2a − 1
2a − 1

Vì a > 0,5 ⇒ 2a − 1 > 0 nên a = a và 2a − 1 = 2a − 1
Ta được kết quả 2a 5
BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Đưa ra ngoài dấu căn

(

) (1 − 5 )

a)

1
3 − 11
4

b)

9a 2 − 12ab + 4b2
81a 4 b4

c)

1 1
−
a a2

2

2

2. Đưa vào trong dấu căn :
a)

5
2m 2 − 2n 2
(m > n)
m−n
5

b) m3 n 2 p (m < 0)
c) ab m+1 a 3b m−1c3 ( a, b, c > 0)
d) ( x − 5)

x
với 0 < x < 5
25 − x 2

§7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
(tiếp theo)
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

AB
=
B2

AB
B

4. Trục căn thức ở mẫu
A
A B
=
B
B
1
=
A± B

( B > 0)

A B
; A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B.
A− B

Tổng quát:
a) Với các biểu thức A, B mà B > 0 , ta có:
A
B

=

A B
B

b) Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0 và A ≠ B 2 , ta có:

(

C AB
C
=
A − B2
A±B

)

c) Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B , ta có:

C
C
=
A± B

(

BÀI TẬP
Khử mẫu của biểu thức lấy căn (các bài 48 và 49).
48.

1
11
3
5
;
;
;
;
600 540 50 98

(1 − 3 )
27

2

.
Hướng dẫn

1
=
600

1
=
100.6

11
=
540

11
=
36.15

3
=
50

3
=
25.2

6
=
100.6.6

11.15
=
6.15

6
;
60

165
;
90

3.2
6
=
;
25.2.2 10

A B
A− B

)

− 3 ) .3
1− 3)
(1=
(=
.
2

2

27

1− 3 3 1− 3 3
= =
9
81

27.3

Vì 1 < 3 ⇒ 1 − 3 < 0 ⇒ 1 − 3 =
1− 3 3
Vậy

9

=

3

a a b
; . ;
b b a

49. ab.

(

3

(

3 −1

)

3 −1
9

1 1
+ ;
b b2

9a 3
2
; 3 xy.
36b
xy

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).
Hướng dẫn
a) ab.

a
Do
b

a
có nghĩa nên a, b cùng dấu.
b

a
ab ab
=
ab.
ab
=
ab
b
b
b2

b>0⇒

ab
ab =
a ab
b

b<0⇒

ab
ab =−a ab
b

a b a b.a
a
b) =
=
.
. 2
b a b a
ba

a>0⇒

a
1
=
=
ab
ab
ba
b

a<0⇒

a
ba

c)

1 1
+ =
b b2

ab
b

a
−1
ab
ab =
ab = ab =−
−ab
b
b
b +1
=
b2

b>0⇒

1
b

b +1 =

b<0⇒

1
b

b + 1 =−

9a 3
d) =
36b

ab

9a 3 b
=
36b 2

1
b

b +1

b +1
b

b +1
b
32 a 2 .ab 3 a ab
=
=
6b
36b 2

a ab a ab
=
2b
2b

)

3 −1
9

2
= 3 2 xy
xy

e) 3 xy

* Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa (từ bài 50 đến 52).
2 2 + 2 y + b. y
với b ≠ 0, y > 0
;
10 2 5 3 20 5 2
b. y

5

50.

5

;

1

;

;

Hướng dẫn
5
5 10
= =
10
10

10
2

5
5 5 1
= =
5
2.5 2
2 5
1
1
1
5
5
=
=
= =
3 20 3 4.5 6 5 6.5 30

(2

2 2+2
=
5 2

. y) y
( y + b=

y + b. y
=
b y
3

51.

3 +1
p

2 p −1

)

2 +2 2 4+2 2 2+ 2
= =
10
10
5

y y + by b + y
=
by
b

by

2

;

;

2+ 3

b

;

3 −1 2 − 3 3 + b

với p ≥ 0, p ≠

với b ≥ 0 ;

1
.
4

Hướng dẫn
a)

3
3 +1

)

(

)

3 −1
3 3 −1
3
=
=
3 −1
2
3 +1 3 −1
3

(

(

. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp

)(

2

b)

=
3 −1

c)

2+ 3
=
2− 3

2

)

(

)

3 +1
=
3 −1

4−3

)

)

3 −1

3 +1

( 2 + 3 ) .( 2 + 3=)

(

(

b 3− b
b
d)
=
;b ≥ 0
9−b
3+ b

(2 + 3)

2

3 − 1 ta có:

(

52.

4 p −1

2

;

6− 5

2ab

) ; p ≥ 0, p ≠ 1

p 2 p +1

p
e) =
2 p −1

3
10 + 7

4

1

;

x− y

với x > 0, y > 0, x ≠ y;

với a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b

a− b

Hướng dẫn
a)
b)

c)

d)

(

)

2 6+ 5
2
=
= 2
6−5
6− 5
3

=
10 + 7
1
x− y

2ab
a− b

6+ 5

)

10 − 7
x+ y
x− y

=

=

(

2ab

(

x > 0, y > 0, x ≠ y;

a+ b
a−b

)

a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b

LUYỆN TẬP
53. Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa).
a) 18

(

)

b) ab 1 +

c)

d)

2

2− 3 ;

1
;
a b2
2

a
a
+ 4;
3
b
b
a + ab
a+ b

.
Hướng dẫn

a) 18
Vì

(

2− 3

2< 3 ⇒

)

2

=

9.2

(

)

2

= 3. 2 − 3 . 2

2− 3 = 3− 2

Vậy 3 2 − 3 . 2= 3. 2
b) ab 1 +

2− 3

(

)

3 − 2 = 3 6 − 6= 3

(

1
a 2 b 2 + 1 ab
ab
1 + a 2b2
=
=
2 2
2 2
ab
ab
ab

- Với a, b cùng dấu, ab > 0 thì ta có kết quả 1 + a 2 b 2

6 −2

)

- Với a, b trái dấu, ab < 0 thì ta có kết quả − 1 + a 2 b 2
ab + a
1
=
4
b
b2

a
a
+=
3
b
b4

c)

d)

a + ab
a+ b
a

(

(a +

=

ab

)(

a (a + b)

a− b

)

a−b

a+ b

a − b)
)(=

a (a − b)
=
a−b

a−b

a với a ≠ b

Chú ý: Ta có thể giải gọn hơn như sau:
Vì để

a có nghĩa thì a